[삼각형의 오심] - 외심

• 외심( circumcenter) : 외접원의 중심

 

\(n\)각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원을 외접원(circumscribed circle, circumcircle)이라고 하고, 그 원의 중심을 외심이라고 한다. \(n \ge 4\)인 경우에는 조건에 따라 외심이 존재하지만 \(n=3\)에서는, 즉, 삼각형은 항상 외심이 존재한다. 이것은 서로 다른 세 점이 한 직선 위에 놓여있지 않다면 세 점을 지나는 원은 항상 존재한다는 것이다. 대수기하적으로는 세 점의 좌표가 주어지면 원의 방정식을 구할 수 있다는 것을 의미한다.

 

세 점을 지나는 원을 구하기 위해서는 원에서 다음 성질을 이용한다.

 

◩ 한 원에서 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다.

 

삼각형의 각 변은 외접원의 현에 해당한다. 따라서 각 변의 수직이등분선의 교점이 외심이다. 외접원이 존재하는 \(n\)각형의 외심을 찾는 일반적인 방법도 변의 수직이등분선을 이용하면 된다. 물론 정사각형이나 직사각형과 같은 특별한 경우는 대각선을 이용해도 찾을 수도 있다.

 

 

◩ 외접원에서 각의 크기는 이등변삼각형의 성질, 원주각과 중심각의 관계를 이용하면 쉽게 구할 수 있다.

 

◩ 외접원은 사인법칙을 유도하는데도 활용된다. (동일 현에 대한 원주각의 크기는 같음과 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점임을 이용)

\[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R ~\text{(단, }R\text{은 외접원의 반지름})\]

 

💬 여기에서 논증기하를 최대한 사용하지 않고, 설명한 이유는 도형의 본질적인 특징을 이해하는데 도움이 되도록 하기 위함이다.