목돈이 있을 때 한꺼번에 은행에 맡기는 것을 예금이라 하고, 일정 금액을 정해진 기간 동안 입금하는 것을 적금이라고 한다. 예를 들어 3,600,000원이 있을 때, 은행에 모두 맡기고 36개월 후에 찾는 것이 예금이고, 한 달에 100,000원씩 36개월간 입금하고(혼동을 피하기 위해 월초에 입금하는 것으로 가정) 찾는 것을 적금이라고 한다.
은행에 돈을 맡기면 이자가 붙는다. 단리는 입금한 원금에 대해 이자가 붙는 것이고, 복리는 원금뿐만 아니라 이자에 대해서도 이자가 붙는 것이다. 이제 예금과 적금에서 각각 단리일 때와 복리일 때의 이자가 산출되는 원리를 살펴보도록 하자.
👀 단리 예금
예치금이 \(A\)원, 연이율 \(r\%\), 거치기간을 \(n\)개월이라 하자. \(n\)개월에 얻을 수 있는 수익[(원금)+(이자)] \(m_n\)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[m_n = A+\frac{r \times 0.01}{12} \times n \times A = A\left(1+\frac{r\times0.01\times n}{12} \right)\]
예를 들어 \(3,600,000\)원을 연이율 \(5\%\)로 \(36\)개월 동안 예금한다면 만기에 찾는 금액은
\[3,600,000\left(1+\frac{5\times 0.01\times36}{12}\right)=4,140,000\text{(원)}\]
이다.
👀 복리 예금
마찬가지로 예치금이 \(A\)원, 연이율 \(r\%\), 거치기간을 \(n\)개월이라 하자. \(n\)개월에 얻을 수 있는 수익 \(m_n\)은 등비급수 형태로 나타낼 수 있다. 즉,
\[\eqalign {m_1&=A+A\times \frac{r\times0.01}{12}\\&=A\left(1+\frac{r\times0.01}{12} \right)\\m_2&=m_1 + m_1 \times \frac{r\times0.01}{12}\\ m_3&=m_2 + m_2 \times \frac{r\times0.01}{12} \\ \vdots \\m_n &= m_{n-1} + m_{n-1} \times\frac{r\times0.01}{12} \\&=m_{n-1} \left( 1+ \frac{r\times0.01}{12}\right) \\ \therefore \frac{m_n}{m_{n-1}}&=1+ \frac{r\times0.01}{12}}\]
이므로
\[m_n =A\left(1+ \frac{r\times0.01}{12} \right)^n\]
예를 들어 \(3,600,000\)원을 연이율 \(5\%\)로 \(36\)개월 동안 예금한다면 만기에 찾는 금액은
\[3,600,000\times\left(1+\frac{5\times 0.01}{12}\right)^{36} =4,181,300\text{(원)}\]
이다.
👀 단리 적금
이번에는 매월 초에 \(A_0\)원을 연이율 \(r\%\)로 \(n\)개월간 입금한다고 하자. 단리는 원금에 대한 이자만 붙기 때문에 아래와 같은 수열의 합을 생각하면 된다.
\[\eqalign {\text{(첫 달 입금한 }A_0 \text{원에 대한 }n\text{개월 동안 수익)}&=A_0 +\frac{A_0\times r\times 0.01}{12}\times n\\ \text{(둘째 달 입금한 }A_0 \text{원에 대한 }(n-1)\text{개월 동안 수익)}&=A_0 +\frac{A_0\times r\times 0.01}{12}\times (n-1) \\ \vdots \\ \text{(}(n-1)\text{번째 달 입금한 }A_0 \text{원에 대한 }2\text{개월 동안 수익)}&=A_0 +\frac{A_0\times r\times 0.01}{12}\times 2 \\ \text{(}n \text{번째 달 입금한 }A_0 \text{원에 대한 }1\text{개월 동안 수익)}&=A_0 +\frac{A_0\times r\times 0.01}{12}\times 1 \\ \\ \therefore \text{(수익의 합)}&=n \times A_0 + \sum _{k=1 }^{ n} {\frac{A_0 \times r \times 0.01}{12}\times k }\\ &=n\times A_0 + \frac{A_0 \times r \times 0.01}{12} \times \frac{n(n+1)}{2}}\]
(식의 이해를 돕기 위해 간단하게 정리하지 않았다.)
예를 들어 \(100,000\)원을 연이율 \(5\%\)로 \(36\)개월 동안 적금한다면 만기에 찾는 금액은
\[36\times100,000+\frac{100,000\times 5 \times0.01}{12}\times\frac{36\times37}{2}=3,877,500\text{(원)}\]
이다.
👀 복리 적금
다시 매월 초에 \(A_0\)원을 연이율 \(r\%\)로 \(n\)개월간 입금한다고 하자. 복리는 원금에 대한 이자뿐만 아니라 이자에 대한 이자도 붙기 때문에 아래와 같은 수열의 합을 생각해야 한다. 여기에서는 식의 가독성을 올리기 위하여 \(R=\dfrac{r\times0.01}{12}\)로 하겠다.
\[\eqalign {\text{(첫 달 입금한 }A_0 \text{원에 대한 }n\text{개월 동안 수익)}&=A_0 \left(1 + R \right)^n\\ \text{(둘째 달 입금한 }A_0 \text{원에 대한 }(n-1)\text{개월 동안 수익)}&=A_0 \left(1+R \right)^{n-1} \\ \vdots \\ \text{(}(n-1)\text{번째 달 입금한 }A_0 \text{원에 대한 }2\text{개월 동안 수익)}&=A_0 \left(1+R \right)^2 \\ \text{(}n \text{번째 달 입금한 }A_0 \text{원에 대한 }1\text{개월 동안 수익)}&=A_0 \left(1+R \right) \\ \\ \therefore \text{(수익의 합)}&=\sum\limits _{k=1 }^{ n} {A_0 \left(1+R \right)^k } \\&= A_0 \left(1+R \right) \times \frac{1-(1+R)^n}{1-(1+R)}}\]
예를 들어 \(100,000\)원을 연이율 \(5\%\)로 \(36\)개월 동안 적금한다면 만기에 찾는 금액은
\[100,000 \times \left(1+\frac{5\times0.01}{12} \right) \times \frac{1-(1+\frac{5\times0.01}{12})^{36}}{1-(1+\frac{5\times0.01}{12})}=3,891,481\text{(원)}\]
이다.
👀 변형
첫 달은 \(A_0\)원, 둘째 달은 \(2A_0\)원, 셋째 달은 \(3A_0\)원, \(\cdots\), \(n\)번째 달은 \(n A_0\)원을 입금한다고 하자. 연이율이 \(r\%\)일 때, 단리와 복리로 각각 만기에 찾는 금액을 구하는 식을 구하자.
먼저 단리는 앞에서 다루었던 식을 조금 변형시키면 된다. 즉,
\[\eqalign {\text{(첫 달 입금한 }A_0 \text{원에 대한 }n\text{개월 동안 수익)}&=A_0 +\frac{A_0\times r\times 0.01}{12}\times n\\ \text{(둘째 달 입금한 }2A_0 \text{원에 대한 }(n-1)\text{개월 동안 수익)}&=2A_0 +\frac{2A_0\times r\times 0.01}{12}\times (n-1) \\ \vdots \\ \text{(}(n-1)\text{번째 달 입금한 }A_0 \text{원에 대한 }2\text{개월 동안 수익)}&=(n-1)A_0 +\frac{(n-1)A_0\times r\times 0.01}{12}\times 2 \\ \text{(}n \text{번째 달 입금한 }A_0 \text{원에 대한 }1\text{개월 동안 수익)}&=n A_0 +\frac{n A_0\times r\times 0.01}{12}\times 1 \\ \\ \therefore \text{(수익의 합)}&= A_0 \times \sum_{k=1 }^{ n} {k } + A_0 \times \frac{r\times0.01}{12}\sum _{k=1 }^{ n} {k\left(n-k+1\right) }\\ &= \frac{A_0 \times n(n+1)(3600+nr+2r)}{7200}}\]
이다.
예를 들어 첫 달은 \(10,000\)원, 둘째 달은 \(20,000\)원, 셋째 달은 \(30,000\)원 씩 입금한다고 하자. 연이율 \(5\%\)로 36개월간 입금하면 원금은 \(\sum\limits _{k=1 }^{ 36} {10000k }=6,660,000\text{(원)}\)이고, 만기에 찾는 금액은
\[\frac{10000 \times 36\times37\times(3600+36\times5+2\times5)}{7200}=7,011,500\text{(원)}\]
이다.
이제 이 변형된 적금을 복리로 계산해보자. 먼저 수학적인 정리가 하나 필요한데 다음과 같다.
\(kr^k = r k r^{k-1} = r \dfrac{d}{dr}r^{k}\) 이므로
\[\eqalign{r\times \sum_{k=1}^{n} kr^{k-1}=r\times \frac{d}{dr} \sum_{k=1}^{n} r^{k} &=r\times \frac{d}{dr}\frac{1-r^{n+1}}{1-r}\\ &=r\times \frac{-(n+1)r^{n}(1-r) + 1 - r^{n+1}}{(1-r)^2}\\ &=r\times \frac{1-(n+1)r^{n} + nr^{n+1}}{(1-r)^2}}\]
단리와 같은 조건을 유지하고, 이자만 복리로 계산하자. 식이 매우 복잡해지므로 다시 가독성을 올리기 위하여 \(R=\dfrac{r\times0.01}{12}\)로 하겠다.
\[\eqalign {&nA_0\left(1+R \right)+(n-1)A_0\left(1+R \right)^2 +\cdots+2A_0\left(1+R \right)^{n-1}+A_0\left(1+R \right)^{n}\\
=& A_0 \sum _{k=1 }^{n } {(n+1-k)\left( 1+R \right)^k }\\
=& A_0 \left( (n+1) \sum _{k=1 }^{n }{(1+R)^k}- \sum _{k=1 }^{n }{k(1+R)^k} \right) \\
=& A_0 \left( (n+1)\times\frac{(1+R)\left(1-(1+R)^n \right)}{1-(1+R)}-(1+R)\times\frac{1-(n+1)(1+R)^n +n(1+R)^{n+1}}{\left(1-(1+R)\right)^2} \right) \\
=&\frac{A_0 \left( 1 + R \right) \,\left( -1 - R - n\,R + {\left( 1 + R \right) }^n + R\,{\left( 1 + R \right) }^n \right) }{R^2}
} \]
앞의 조건과 동일한 예에서 이자만 복리로 바꾸면
\[\frac{10000\times(1+\frac{5\times0.01}{12})\left(-1-\frac{5\times0.01}{12}-36\times \frac{5\times0.01}{12}+\left(1+\frac{5\times0.01}{12} \right)^{36} + \frac{5\times0.01}{12} \times \left(1+\frac{5\times0.01}{12} \right)^{36} \right)}{\left(\frac{5\times0.01}{12}\right)^2}=7,024,687\text{(원)}\]
이다.
\(\blacksquare\)
카카오뱅크 26주 적금 보고 생각나서 정리한 것이 여기까지 와버렸다.
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