복사용지 규격의 원리와 확대 축소 비율의 규칙에 대하여

종이의 크기는 나라마다 다양한 표준 규격을 사용하고 있다. 여기에서는 인쇄 및 복사용으로 가장 많이 사용하는 A형과 B형 용지의 규격에 대하여 살펴보도록 하겠다.

국제 종이 규격 표준은 ISO 216으로 정해져 있고, 이의 변형판이 다양하게 존재한다. A형 전지는 A0로 나타내고, A0 용지 한 장을 반으로 접어서 자르면 A1 용지 2장을 만들 수 있다. 또, A1 용지 2장을 각각 반으로 접어서 자르면 A2 용지 4장 만들 수 있다. 이와 같은 과정을 통해서 A0 용지 한 장을 이용하여 A4 용지 16장을 만들 수 있다. 

이러한 과정이 가능하도록 한 것은 수학적 원리를 토대로 한 것이다. An 용지를 반으로 접어서 접어 An+1 용지를 만들었을 때, 두 규격의 용지가 서로 닮음이 되도록 하면 용지의 확대 축소가 용이하고, 관리가 편해서 자원의 낭비를 최소화할 수 있다. 이것은 독일 DIN 476 표준에 기반을 두고 있으며, ISO 216에서 채택하였다.

용지의 가로 세로의 길이의 비를 구하기 위해 그림과 같이 가로의 길이가 \(l\), 세로의 길이가 \(x\)인 직사각형을 생각해 보자. 반으로 접은 직사각형의 한 변의 길이는 \(\frac12 x\)이고, 처음 사각형의 가로의 길이와 대응한다. 따라서 닮음에 대한 비례식을 구하고, 풀어보면 다음과 같다.

\[\eqalign{l\,:\,x\,&=\,\frac12 x \,:\,l\\ \frac12 x^2 &=l^2\\x^2 &=2l^2\\x&=\sqrt2 l \quad(\because x \gt 0)}\]

즉, 종이의 규격은 짧은 변과 긴 변의 길이의 비가 \(1\,:\,\sqrt2\)를 만족하면 된다. ISO 216에서 A0 용지의 넓이를 \(1\,\text{㎡}\)로 정하였으므로 A0 용지의 가로 세로의 길이를 구해보면,

\[\eqalign{l\times\sqrt2 l &=1\\\sqrt2 l^2 &=1\\l&=\frac{1}{\sqrt{\sqrt2}}=2^{-\frac14}=0.84089\cdots}\]

따라서 A0 용지의 가로의 길이는 \(841\,\text{㎜}\)이고, 세로의 길이는 \(l\times\sqrt2 =1.18920\cdots\fallingdotseq1189\,\text{(㎜)}\)가 된다.

 

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이제 인쇄용지의 규격의 일반적인 규칙을 살펴보자.

 

✔ 수학적인 표현으로는 올바르지 않지만 용지의 이름에 맞추기 위해서 An, An+1과 같은 표현을 사용하였다.

 

An 용지의 짧은 변의 길이를 \(a_n\)이라 하자. An+1 용지의 넓이는 An 용지의 넓이의 \(\frac12\)이므로 변의 길이는 \(\frac{1}{\sqrt2}\)배가 된다. 따라서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\[a_n =  \frac{1}{\sqrt2} a_{n-1} \text{에서 } a_n = \left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^n a_0\]

이 식을 이용하여 A4 용지의 규격을 계산하면 \[a_4 =\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^4 a_0 =\frac{1}{4\root {4}\of{ 2}}=0.21022\cdots\]

이므로 가로의 길이는 \(210\,\text{㎜}\)이고, 세로의 길이는 \(\dfrac{1}{4\root {4}\of{ 2}}\times\sqrt2=0.29730\cdots\fallingdotseq297\,\text{(㎜)}\)이다.

나머지 A형 용지의 규격도 유도한 공식을 이용하여 구할 수 있다. 단, 반올림의 미묘한 차이로 실제 사용되는 용지의 규격은 \(1\,\text{㎜}\)의 오차가 발생할 수 있다. 실제로 A5 용지의 짧은 변의 길이를 계산하면 \(0.14865\cdots\)이므로 \(149\,\text{㎜}\)이지만 A4 용지의 긴 변의 길이는 \(297\,\text{(㎜)}\)로 \(149\times2=298\)이 되어 A4 용지의 긴 변의 길이보다 길어져 버린다. ISO 216에서는 \(148\,\text{㎜}\)로 규정하고 있다.

 

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B형 용지는 A형 용지의 기하평균으로 크기가 정해졌다. 즉, An 용지의 짧은 변의 길이 \(a_n\)과 Bn 용지의 짧은 변의 길이 \(b_n\)에 대하여

\[b_n=\sqrt{a_{n-1} \times a_n}=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^{2n-1}}\times a_0 = 2^{-\frac12n+\frac14}\times a_0=2^{-\frac12n}\]

이 성립한다.

따라서 B0 용지의 짧은 변의 길이를 계산하면

\[\eqalign{b_0 &=2^{\frac14} \times a_0 \\&=2^{\frac14} \times2^{-\frac14} \\&=1}\]

이다. 그러므로 가로 세로의 길이의 비 \(1\,:\,\sqrt2\)에서 긴 변의 길이 \(1414\,\text{(㎜)}\)가 결정되고, B0 용지의 넓이는 \(\sqrt2\,\text{㎡}\)가 된다.

B4 용지의 규격을 구하면 짧은 변의 길이는 \(b_4=2^{-2} =0.25\)이므로 \(250\,\text{㎜} \)이고, 긴 변의 길이는 \(250\times\sqrt2 =353.59694\fallingdotseq354\,\text{(㎜)}\)이다. 하지만 B4 용지의 긴 변의 길이는 B3 용지의 짧은 변의 길이와 같은데, B3 용지의 짧은 두 변의 길이의 합이 B2 용지의 긴 변의 길이와 같고, 그 길이가 \(707\,\text{(㎜)}\)이므로 ISO 216에서는 B4 용지의 긴 변의 길이를 \(353\,\text{(㎜)}\)로 정하고 있다.

 

👀 각 용지별 규격 참고

종이 크기 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

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용지의 규격을 정하는 원리에 따라 An 용지의 넓이는 An+1 용지의 \(2\)배이므로 닮음비는 \(\sqrt2 \,:\,1\)이다. 따라서 An 용지를 확대 또는 축소해서 출력하려는 경우에는 다음과 같은 규칙을 따르면 된다.

\[\eqalign{An\rightarrow An+1\quad&:\enspace  \frac{1}{\sqrt2}\fallingdotseq 0.707 \text{이므로, }70.7\% \\
An+1\rightarrow An\quad&:\enspace  \sqrt2\fallingdotseq 1.414 \text{이므로, }141.4\%} \]

이것을 응용하면, 예를 들어 A4 용지를 A1 용지에 확대 출력하려고 한다면 \(\sqrt2 \times \sqrt2 \times \sqrt2 =2.82842\cdots\)이므로 배율을 \(282.8\%\)로 조정한다. 거꾸로 A1 용지에서 편집한 문서를 A4 용지에 출력하려고 한다면 \(\left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^3=0.35355\cdots\)이므로 배율을 \(35\%\)로 조정한다.

B형 용지도 A형 용지와 같은 비율로 규격이 정해져 있어서 Bn 용지의 확대 또는 축소는 A형 용지에서와 같은 비율을 적용하면 된다. 그렇다면 An 용지와 Bn 용지의 비율을 확인하면 모든 A형 용지와 B형 용지는 닮음인 관계이므로 A형 용지와 B형 용지 사이의 확대 축소 인쇄 비율을 정리할 수 있다.

\[\eqalign{\frac{b_n}{a_n} &= 2^{\frac14}=1.18920\cdots\\\frac{a_n}{b_n} &= 2^{-\frac14}=0.84089\cdots}\]

따라서 An 용지를 Bn 용지로 확대할 때는 \(118.9\%\), Bn 용지를 An 용지로 축소할 때는 \(84\%\)로 배율을 정하면 된다. 이로부터 다음과 같은 관계를 유추할 수 있다. (축소 배율은 확대 배율의 역수로 간단히 구할 수 있으나 과정을 상세히 설명하기 위해서 전개 과정을 식으로 추가한다.)

\[\eqalign{Bn+1\rightarrow An \quad(Bn+1\rightarrow An+1 \rightarrow An)\quad&:\enspace  2^{-\frac14}\times\sqrt2 =2^{\frac14}=1.18920\cdots\implies 118.9\% \\ An\rightarrow Bn+1 \quad(An\rightarrow Bn \rightarrow Bn+1)\quad&:\enspace  2^{\frac14}\times\frac{1}{\sqrt2} =2^{-\frac14}=0.84089\cdots\implies 84\%\\Bn+2\rightarrow An \quad(Bn+2\rightarrow An+2 \rightarrow An)\quad&:\enspace  2^{-\frac14}\times2 =2^{\frac34}=1.68179\cdots\implies 168\% \\ An\rightarrow Bn+2 \quad(An\rightarrow Bn \rightarrow Bn+2)\quad&:\enspace  2^{\frac14}\times\frac{1}{2} =2^{-\frac34}=0.59460\cdots\implies 59\%\\An\rightarrow Bn+3 \quad(An\rightarrow Bn \rightarrow Bn+3)\quad&:\enspace  2^{\frac14}\times\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^3 =2^{-\frac54}=0.42044\cdots\implies 42\%\\&\vdots}\]

 

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그러나! 

사무실에서 사용하는 복합기, 복사기 등의 설정을 보면 살펴본 배율이 아닌 \(122\%,\: 81\%,\:\cdots\)와 같이 설정되어 있다. 무엇이 문제일까?

해답은 B형 용지의 규격에서 찾을 수 있다. 앞에서 서술한 내용은 ISO 216에서 규정하는 B형 용지에 적용되는 사항이다. 국내에서 사용하고 있는 B형 용지의 규격은 일본 산업 규격(JIS)을 따르는데 B0 용지의 넓이를 \(1.5\,\text{㎡}\)로 정하고 있다. 일본 B형 규격에 따라 변형 B0용지의 짧은 변의 길이를 구하면

\[\eqalign {\sqrt2 \times l^2 &=1.5\\  l &=\sqrt{\frac{1.5}{\sqrt2}}\\&=\sqrt3 \times 2^{-\frac34}\\&=1.02988\cdots}\]

이므로 \(1030\,\text{(㎜)}\)이다. 긴 변의 길이는 \(\sqrt {\dfrac {1.5}{\sqrt {2 } } }\times \sqrt2 =\sqrt{1.5\times \sqrt2}=1.45647\cdots\)에서 \(1456\,\text{(㎜)}\)이다.

변형 Bn 용지의 짧은 변의 길이 \(b_n^\prime\)의 일반항은 다음과 같다.

\[b_n^\prime=\left(\frac1{\sqrt2}\right)^n \times \sqrt3 \times 2^{-\frac34}=2^{-\frac12n-\frac34}\times\sqrt3\]

따라서 변형 B4 용지의 두 변의 길이는

\[\eqalign{2^{-\frac12\times4-\frac34}\times\sqrt3&=2^{-\frac{11}{4}}\times\sqrt3=0.25747\cdots\\2^{-\frac12\times4-\frac34}\times\sqrt3\times\sqrt2&=2^{-\frac{9}{4}}\times\sqrt3=0.36411\cdots}\]

이므로 각각 \(257\,\text{㎜}\), \(364\,\text{㎜}\)이다.

A형 용지와 변형 B형 용지의 확대 축소 비율을 확인하기 위해 An 용지와 Bn 용지 사이의 비율을 계산하면 

\[\eqalign{\frac{b_n^\prime}{a_n} &= \frac{\sqrt3\times2^{-\frac34}}{2^{-\frac14}}=\sqrt{\frac32}=1.22474\cdots\\\frac{a_n}{b_n^\prime} &=\sqrt{\frac23} =0.81649\cdots}\]

이다. 따라서 An 용지를 변형 Bn형 용지로 확대할 때는 \(122\%\), 변형 Bn형 용지를 An형 용지로 축소할 때는 \(81\%\)의 배율로 지정한다. ( \(82\%\)로 지정하면 페이지의 가장자리가 잘리는 경우가 있다.)

이로부터 다음과 같은 관계를 유추할 수 있다.

\[\eqalign{B^\prime n+1\rightarrow An \quad(B^\prime n+1\rightarrow An+1 \rightarrow An)\quad&:\enspace  \sqrt{\frac23}\times\sqrt2= \frac{2}{\sqrt3}=1.15470\cdots\implies 115\% \\ An\rightarrow B^\prime n+1 \quad(An\rightarrow B^\prime n \rightarrow B^\prime n+1)\quad&:\enspace  \sqrt{\frac32}\times\frac{1}{\sqrt2}= \frac{\sqrt3}{2}=0.86602\cdots\implies 86\%\\B^\prime n+2\rightarrow An \quad(B^\prime n+2\rightarrow An+2 \rightarrow An)\quad&:\enspace  \sqrt{\frac23}\times2=1.63299\cdots\implies 163\% \\ An\rightarrow B^\prime n+2 \quad(An\rightarrow B^\prime n \rightarrow B^\prime n+2)\quad&:\enspace  \sqrt{\frac32}\times\frac12=\frac{\sqrt6}{4}=0.61237\cdots\implies 61\%\\An\rightarrow B^\prime n+3 \quad(An\rightarrow B^\prime n \rightarrow B^\prime n+3)\quad&:\enspace  \sqrt{\frac32}\times\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^3=\frac{\sqrt3}{4}=0.43301\cdots\implies 43\%\\&\vdots}\]

그래서 우리가 자주 사용하는 용지의 확대 축소 배율이 다음과 같은 것이다.

 

\(\eqalign{A3 → A4 &: 70\%\\B4 → B5 &: 70\%\\B4 → A4 &: 81\%\\A3 → B4 &: 86\%\\A4 → B5 &: 86\%\\B4 → A3 &: 115\%\\B5 → A4 &: 115\%\\A4 → B4 &: 122\%\\A4 → A3 &: 141\%\\B5 → B4 &: 141\%}\)

 

B5로 편집한 문서를 A1 용지에 인쇄하려고 한다면 \(\sqrt{\dfrac23}\times\left(\sqrt2\right)^4=3.26298\cdots\)에서 \(326\%\)로 확대하면 되는 것처럼, 이상의 규칙을 적용하면 다양하게 문서를 확대 축소할 수 있다.

 

\(\blacksquare\)

👍 실생활을 위한 간단 요약

∙ A형, B형, 변형 B형 등 같은 형태의 용지를 한 단계 확대할 때는 \(\sqrt2\)배, 축소할 때는 \(\dfrac{1}{\sqrt2}\)배

∙ A형에서 변형 B형 같은 번호의 용지로 갈 때는 \(\sqrt{\dfrac{3}{2}}\)배, 반대로는 \(\sqrt{\dfrac{2}{3}}\)배

∙ 나머지 경우는 단계적으로 위의 배율을 적용해서 곱함.

💬 확대 축소 비율은 도형의 닮음을 이용해서 이해해도 된다. An 용지와 An+1 용지 혹은 Bn 용지와 Bn+1 용지의 닮음비는 \(\sqrt{2}\,:\,1\)이므로 확대할 때 \(\sqrt2\)배, 축소할 때는 \(\dfrac{1}{\sqrt2}\)배이다. An 용지와 Bn 용지의 닮음비는 \(1\,:\,\sqrt{1.5}\)이므로 A형에서 변형 B으로 확대할 때는 \(\sqrt{1.5}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}\)배, 반대로는 \(\sqrt{\dfrac{1}{1.5}}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\)배이다.