수학시간

현재 라틴어는 사용하지 않는 언어가 되었지만 서양 문화에서는 라틴어의 흔적이 곳곳에 남아있다. 우리의 생활과 관련해서 로마 숫자는 시계나 책의 목차 등에서 사용되고 있다. 로마 숫자를 읽기는 상당히 불편하지만 그 원리를 알고 나면 그리 어렵지 않음을 알 수 있다. 로마 숫자의 기호부터 이해하도록 하자. Ⅰ - 1 Ⅱ - 2 Ⅲ - 3 Ⅳ - 4 Ⅴ - 5 Ⅵ - 6 Ⅶ - 7 Ⅷ - 8 Ⅸ - 9 Ⅹ - 10 XL - 40 L - 50 XC - 90 C - 100 CD - 400 D - 500 CM - 900 M - 1000 로마 기수법은 덧셈에 근거하고, 왼쪽에서 오른쪽으로 가면서 값이 줄어드는 것이 원칙이지만 \(4\) 및 \(9\)와 관련된 숫자는 뺄셈을 이용하였다. 위에서 \(\rm{IV}\; :..

자연수 \(n=a\times b\)라고 한다면 \(n\)은 \(a\)의 배수, 혹은 \(b\)의 배수이다. 이때, \(a,\,b\)는 \(n\)의 인수(factor)이다. 또한 \(n\)은 \(a\)로 나누어떨어지고, \(b\)로도 나누어떨어진다. 따라서 \(a,\,b\)는 \(n\)의 약수(divisor)이다. 인수와 약수는 같은 개념으로 생각할 수도 있지만 접근법에 차이가 있다. 자연수 \(n\)을 어떤 수를 곱해서 만들었는가를 생각한다면 인수를, 어떤 수로 나눌 수 있는가를 생각한다면 약수를 이용한다. 특별히 소수인 인수를 소인수(prime factor)라고 한다. 자연수 \(n\)의 약수를 구할 때는 찾을 수 있는 모든 곱셈의 경우를 이용한다. 예를 들어 \[\eqalign {12&=1\times..

자연수의 약수를 찾거나 소인수분해, 분수를 약분 또는 통분할 때 등의 경우, 우리는 배수를 이용한다. 간단한 수는 직관적으로도 찾을 수 있지만, 큰 수는 직관에만 의존할 수는 없다. 여러 번의 시행착오도 필요하고 시간도 많이 소모되며, 결국에는 계산기를 쓰는 일도 생긴다. 계산기 자체의 사용이 잘못된 것은 아니지만 우린 계산기보다는 필산으로 깔끔하게 답을 구하는 것을 선호한다. 배수의 특징을 알면 좀 더 수월한 계산을 할 수 있어서 몇 가지 정리한다. 이 글에서 사용할 기호와 공통적으로 사용하는 성질은 다음과 같다. \(a\mid b\quad\implies\) \(a\)는 \(b\)를 나눌 수 있다. (\(b\)는 \(a\)의 배수이다. 또는 \(a\)는 \(b\)의 약수이다.) 예) \(5\mid10,..

밑면이 합동이고, 높이가 같은 각(원)뿔과 각(원)기둥의 부피 사이의 관계는 \[\text{(기둥의 부피)}=3\times \text{(뿔의 부피)}\] 이다. 이 성질을 궁극적으로 설명하기 위해서는 미적분이 필요하지만 직관적인 도구를 통해 우회해서 이해를 도울 수 있다. 아래의 전개도를 이용하여 입체도형을 만들면 밑면이 정사각형인 사각뿔이 된다. 이 사각뿔 \(3\)개를 모으면 정육면체를 만들 수 있다. 다음 링크는 지오지브라를 이용하여 실험해볼 수 있도록 만든 것이다. \(a,\,b,\,c\)의 값을 다르게 하면 합동인 사각뿔은 아니지만, 세 사각뿔의 부피는 모두 같다. 가로, 세로, 높이의 길이를 바꿔보면서 관찰해보자. https://www.geogebra.org/m/qcnfrdsq 사각뿔-직육면체..

식의 성질을 다루고, 풀기 위해서는 식을 구성하는 수의 성질을 파악해야 한다. 수의 기본 출발점은 \(1\)이다. 인류 문명의 발전과 함께 물건의 개수를 세는 수의 개념이 필요했고, 덧셈은 자연스럽게 확장되었다고 생각할 수 있다. 즉, \[\eqalign{1&\\2&=1+1\\3&=2+1=1+1+1\\4&=3+1=1+1+1+1\\&\vdots}\] 으로 자연수를 확장할 수 있다. 한편, 반복하는 덧셈은 곱셈으로 바꿔서 계산의 과정을 줄일 수 있고, 표현을 간단하게 할 수도 있다. 즉, \[\eqalign{4&=2+2=2\times2\\6&=2+2+2=3\times2\\9&=3+3=2\times3\\12&=2+2+2+2+2+2=6\times2\\&\vdots}\] 으로 자연수의 확장을 다시 생각할 수 있다..

종이의 크기는 나라마다 다양한 표준 규격을 사용하고 있다. 여기에서는 인쇄 및 복사용으로 가장 많이 사용하는 A형과 B형 용지의 규격에 대하여 살펴보도록 하겠다. 국제 종이 규격 표준은 ISO 216으로 정해져 있고, 이의 변형판이 다양하게 존재한다. A형 전지는 A0로 나타내고, A0 용지 한 장을 반으로 접어서 자르면 A1 용지 2장을 만들 수 있다. 또, A1 용지 2장을 각각 반으로 접어서 자르면 A2 용지 4장 만들 수 있다. 이와 같은 과정을 통해서 A0 용지 한 장을 이용하여 A4 용지 16장을 만들 수 있다. 이러한 과정이 가능하도록 한 것은 수학적 원리를 토대로 한 것이다. An 용지를 반으로 접어서 접어 An+1 용지를 만들었을 때, 두 규격의 용지가 서로 닮음이 되도록 하면 용지의 확..

목돈이 있을 때 한꺼번에 은행에 맡기는 것을 예금이라 하고, 일정 금액을 정해진 기간 동안 입금하는 것을 적금이라고 한다. 예를 들어 3,600,000원이 있을 때, 은행에 모두 맡기고 36개월 후에 찾는 것이 예금이고, 한 달에 100,000원씩 36개월간 입금하고(혼동을 피하기 위해 월초에 입금하는 것으로 가정) 찾는 것을 적금이라고 한다. 은행에 돈을 맡기면 이자가 붙는다. 단리는 입금한 원금에 대해 이자가 붙는 것이고, 복리는 원금뿐만 아니라 이자에 대해서도 이자가 붙는 것이다. 이제 예금과 적금에서 각각 단리일 때와 복리일 때의 이자가 산출되는 원리를 살펴보도록 하자. 👀 단리 예금 예치금이 \(A\)원, 연이율 \(r\%\), 거치기간을 \(n\)개월이라 하자. \(n\)개월에 얻을 수 있는 ..